श्रेणी frac{3}{1^2} + frac{5}{1^2 + 2^2} + fr | vedclass

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Question

(C) दी गई श्रेणी $\sum_{n=1}^{11} T_n$ है,जहाँ $n$-वाँ पद $T_n$ इस प्रकार है:$T_n = \frac{2n+1}{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}$प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं

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$\frac{11}{2}$

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(C) दी गई श्रेणी $\sum_{n=1}^{11} T_n$ है,जहाँ $n$-वाँ पद $T_n$ इस प्रकार है:$T_n = \frac{2n+1}{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}$प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग के सूत्र $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:$T_n = \frac{2n+1}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{6}{n(n+1)}$आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करने पर:$T_n = 6 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} ight)$अब,$n$ पदों का योगफल $S_n$ है:$S_n = \sum_{k=1}^n 6 \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} ight) = 6 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) ight]$$S_n = 6 \left( 1 - \frac{1}{n+1} ight) = \frac{6n}{n+1}$$n=11$ पदों के लिए:$S_{11} = \frac{6 	imes 11}{11+1} = \frac{66}{12} = \frac{11}{2}$

श्रेणी $\frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2 + 2^2} + \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2} + \dots$ के $11$ पदों का योगफल क्या है?

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श्रेणी $1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 7^2 + \dots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

यदि $a, b, c$ $GP$ में हैं और $4a, 5b, 4c$ $AP$ में हैं,इस प्रकार कि $a + b + c = 70$,तो $a^3 + b^3 + c^3$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि गुणोत्तर श्रेणी $5, - \frac{5}{2}, \frac{5}{4}, - \frac{5}{8}, \dots$ का $n$-वाँ पद $\frac{5}{1024}$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए:

$3, 3^2, 3^3, ..., 3^n$ संख्याओं का $G.M.$ (गुणोत्तर माध्य) ज्ञात कीजिए।

श्रेणी $51 + 50 + 49 + \ldots + 21$ का योग ज्ञात कीजिए।

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